Perencanaan Media Pembelajaran Matematika Segitiga Pascal dan Garis Singgung Lingkaran

Perencanaan Media Pembelajaran Dua Dimensi

“The Rainbow Pascal’s Triangle”

Standar Kompetensi   : Aljabar

                                     Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus

Kompetensi Dasar       : 1.1 Melakukan operasi aljabar

Materi                          : Perkalian dan Pangkat pada Bentuk Aljabar (Pangkat Tinggi dari

                                     Suku Dua)

Kelas/Semester            : VIII/I

Satuan Pendidikan      : SMP/MTs

1.        Nama Media Pembelajaran

Nama media pembelajaran ini adalah “The Rainbow Pascal’s Triangle”

2.        Kegunaan Media Pembelajaran

Kegunaan dari media pembelajaran ini adalah memudahkan proses pembelajaran matematika, meliputi membantu guru dalam menjelaskan maupun membantu siswa untuk memahami materi pelajaran dengan lebih mudah, utamanya dalam materi aljabar dalam menentukan koefisien binomial dan Perkalian dan Pangkat pada Bentuk Aljabar (Pangkat Tinggi dari Suku Dua). Pascal’s Triangle (Segitiga Pascal) adalah segitiga yang terbentuk dari bilangan-bilangan yang fungsinya untuk mempermudah operasi perpangkatan atau penyederhanaan Aljabar.

3.        Alat dan Bahan

Bahan yang dibutuhkan dalam pembuatan media ini antara lain :

a)      Karton

b)      Kardus

c)      Triplek

d)     Double Tip

e)      Kertas Origami/Kain Warna

f)       Kertas Kalender

Sedangkan alat yang dibutuhkan dalam pembuatan media ini antara lain :

a)      Penggaris

b)      Pensil

c)      Spidol

d)     Gunting

e)      Pensil Warna/Keli

4.        Prosedur Pembuatan

Adapun prosedur pembuatan media pembelajaran  “The Rainbow Pascal’s Triangle” ini adalah sebagai berikut :

a)      Menyiapakan segala kebutuhan termasuk alat dan bahan.

b)      Mengukur kardus sesuai kebutuhan sekaligus menggambarkan polanya sehingga memudahkan dalam proses pemotongan.

c)      Memotong kardus sesuai ukuran dengan gunting.

d)     Lalu melapisi kardus dengan triplek sesuai dengan ukurannya

e)      Membuat desain segitiga dengan mengukur bagian-bagian segitiga sama besar satu dengan yang lainnya dengan panjang sisi 6 cm.

f)       Menggunting/memotong kertas origami membentuk segitiga kecil, untuk kardus yang berukuran 0,3 mm.

g)      Kemudian sisihkan segitiga yang telah di potong.

h)      Tempelkan segitiga yang sudah digunting menggunakan double tip pada potongan kardus.

i)        Menyatukan kardus 2 ukuran dengan cara ditumpuk kemudian di lem.

j)        Memberi penomoran angka sesuai konsep pada Triangle Pascal’s (segitiga pascal).

k)      Alat peraga siap digunakan.

5.        Cara penggunaan Media Pembelajaran

Barisan Segitiga Pascal umumnya dihitung dimulai dengan baris kosong, dan nomor-nomor dalam barisan ganjil biasanya diatur agar terkait dengan nomor-nomor dalam baris genap. Konstruksi sederhana pada segitiga dilakukan dengan cara berikut. Di barisan nol, hanya tulis nomor 1. Kemudian, untuk membangun unsur-unsur barisan berikutnya, tambahkan nomor di atas dan di kiri dengan nomor secara langsung di atas dan di kanan untuk menemukan nilai baru. Jika nomor di kanan atau kiri tidak ada, gantikan suatu kosong pada tempatnya.

Caranya yang baris pertama sampai seterusnya, diawali dan diakhiri dengan tanda 1, sudah ada aturannya, lalu bagaimanalkah dengan  g baris 3 dan seterusnya?

Untuk baris ke 3, dinyatakan dengan “1-2-1”. Cara mendapatkannya dengan menjumlahkan 1 + 1 = 2, oleh karena angka yang ada di baris 2 hanya dua, maka bertambahnya angka hanya satu, jadi suatu baris juga tergantung pada baris yang sebelumnya.

Baris ke 4, dinyatakan dengan "1-3-3-1". Cara mendapatkannya, di awal dan diakhir harus memakai 1, Lalu "3-3-3" berasal dari mana? Itu diperoleh dari  "1 (yang diawal) + 2 = 3" dan "1 (yang diakhir) + 2 = 3", karena yang ditengah - tengahnya dua,  semua ditambah dua, lalu diawal & akhir harus angka 1, maka sisipkan angka satu diawal dan diakhir, maka menghasilkan angka "1-3-3-1".

Baris ke 5, angkanya "1-4-6-4-1". Cara mendapatkannya diperoleh dari hasil tambah "1 + 3" dan "3 + 3" dan "3 + 1", di satukan menjadi "4-6-4" ditambah satu diawal dan akhir, jadi "1-4-6-4-1".

Baris ke 6 dan seterusnya, sama dengan baris-baris sebelumnya. Yang unik dari segitiga pascal ini adalah jika setiap barisnya dijumlahkan maka hasilnya adalah merupakan bilangan 2 pangkat n dengan n berurutan dari 0. Baris pertama didapatkan 2⁰. Baris kedua adalah sama dengan 2¹. Baris ketiga sama dengan 2². Dan seterusnya

a)       1 = 2⁰

b)      1 + 1 = 2¹

c)      1 + 2 + 1 = 2²

d)     1 + 3 + 3 + 1 = 2³

e)      1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 2⁴

f)         1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 2⁵

g)      1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 2⁶

Hubungan antara segitiga Pascal dengan perpangkatan suku dua bentuk aljabar untuk penjumlahan diuraikan sebagai berikut.

(a + b)² = 1a² + 2ab + b²

(a + b)³ = 1a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a + b)⁴ = 1a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

(a + b)⁵ = 1a⁵ + 5 a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

Perhatikan!

Pada tiap suku, pangkat a turun, sedangkan pangkat b naik.

Perpangkatan suku dua bentuk aljabar untuk penjumlahan diuraikan sebagai berikut.

(a - b)² = 1a² - 2ab + b²

(a - b)³ = 1a³ - 3a²b + 3ab² - b³

(a - b)⁴ = 1a⁴ - 4a³b + 6a²b² - 4ab³ + b⁴

(a - b)⁵ = 1a⁵ - 5 a⁴b + 10a³b² - 10a²b³ + 5ab⁴ - b⁵

Perhatikan!

Suku-suku dari hasil perpangkatan memiliki tanda yang bergantian, yaitu +, -, +, -, +.

Perpangkatan bentuk aljabar dengan n bilangan asli juga mengikuti pola segitiga

Pascal. Akan tetapi, tanda setiap koefisiennya selalu berganti dari (+) ke (–), begitu seterusnya.

Segitiga Pascal menentukan koefisien yang menambahkan dalam pengembangan binomial. Misalnya, timbangkan pengembangan berikutnya.

(x + y)² = x² + 2xy + y² = 1x²y⁰ + 2x¹y¹ + 1x⁰y²

Perhatikan bahwa koefisien adalah angka dalam baris kedua segitiga Pascal: 1-2-1. Pada umumnya, ketika sebuah binomial seperti x + y ditambahkan ke suatu bilangan bulat positif kita mendapat:

(x + y)ⁿ = a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹y + a₂xⁿ⁻²y² + … + a_n−1xyⁿ⁻¹ + a_nyⁿ

yaitu koefisien a_i dalam pengembangan ini adalah tepatnya bilangan dalam baris n Triangle Pascal’s. Jadi, untuk selanjutnya kita dapat mengerjakan perpangkatan bentuk aljabar (a + b)ⁿ  dengan menggunakan sifat tersebut.

Contoh:

1.        Sederhanakan (3x + 5y)⁴

Penyelasaian:

Karena pada pembahasan di atas kita gunakan bentuk (a + b)ⁿ maka bisa kita misalkan a = 3x dan b = 5y.

Bentuk aljabar itu berpangkat 4, maka koefisiennya pasti 1, 4, 6, 4 dan 1.

(3x + 5y)⁴ = 1(3x)⁴ + 4(3x)³(5y) + 6(3x)²(5y)² + 4(3x)(5y)³ + 1(5y)⁴

                = 81 x⁴ + 540 x³y + 1350 x²y² + 1500 x y³ + 625 y⁴

2.      Sederhanakan (2x – 3)³

Penyelesaian:

Karena pada pembahasan di atas kita gunakan bentuk (a + b)ⁿ maka bisa kita misalkan a = 2x dan b = -3.

Bentuk aljabar itu berpangkat 3, maka koefisiennya pasti 1, 3, 3, dan 1.

(2x – 3)³  = 1(2x)³ + 3(2x)²(-3)¹ + 3(2x)(-3)² + 1(-3)^3\

              = 2x³ + 18x² + 18x + 27

Perencanaan Media Pembelajaran Dua Dimensi

“Tangent of Circle”

Standar Kompetensi   : Geometri dan Pengukuran

4.   Menentukan unsur, bagian lingkaran serta ukurannya

Kompetensi Dasar       : 4.4 Menghitung panjang garis singgung persekutuan dua lingkaran

Materi                          : Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar (PGSPL) dan Panjang

                                     Garis Singgung Persekutuan Dalam (PGSPD)

Kelas/Semester            : VIII/II

Satuan Pendidikan      : SMP/MTs

1.        Nama Media Pembelajaran

Nama media pembelajaran ini adalah “Tangent of Circle”.

2.        Kegunaan Media Pembelajaran

Kegunaan dari media pembelajaran ini adalah memudahkan proses pembelajaran matematika, meliputi membantu guru dalam menjelaskan maupun membantu siswa untuk memahami materi pelajaran dengan lebih mudah, utamanya dalam materi aljabar dalam menghitung panjang garis singgung persekutuan dua lingkaran/Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar (PGSPL) dan Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam (PGSPD).

3.        Alat dan Bahan

Bahan yang dibutuhkan dalam pembuatan media ini antara lain :

a)      Karton

b)      Kardus

c)      Triplek

d)     Pita Kain

e)      Double Tip

f)       Kertas Origami

Sedangkan alat yang dibutuhkan dalam pembuatan media ini antara lain :

a)      Penggaris

b)      Pensil

c)      Spidol

d)     Gunting

e)      Pensil Warna/Kelir

g)        Prosedur Pembuatan

Adapun prosedur pembuatan media pembelajaran  “Tangent of Circle” ini adalah sebagai berikut :

a)      Menyiapkan segala kebutuhan termasuk alat dan bahan

b)      Mengukur triplek sesuai kebutuhan sekaligus menggambarkan polanya sehingga memudahkan dalam proses pemotongan.

c)      Memotong kertas karton sesuai ukuran yang telah ditentukan dengan menggunakan cutter

d)     Membuat desain lingkaran yang memiliki jari-jari 10 cm dan 6 cm

e)      Menggunting/memotong kertas origami dengan desain lingkaran yang telah ditentukan.

f)       Menempel hasil potongan yang berbentuk lingkaran pada kardus

g)      Menghubungkan kedua lingkaran dengan pita kain sesuai ukuran membentuk garis singgung persekutuan dalam dan garis singgung persekutuan luar. Lalu ikat tali pada pusat kedua lingkaran.

h)      Memberi keterangan titik dan garis pada lingkaran dan pita kain yang sudah di bentuk.

i)        Alat peraga siap digunakan.

h)       Cara Penggunaan Media Pembelajaran

Media pembelajaran Tangent of Circle digunakan untuk menemukan rumus mencari panjang garis singgung persekutuan luar (PGSPL) dan panjang garis singgung persekutuan dalam (PGSPD).

Langkah-langkah Menentukan PGSPL (PQ):

Terdapat dua lingkaran yang berpusat di A dengan jari-jari R(lingkaran besar) dan lingkaran kecil yang berpusat di B dengan jari-jari r. Jarak kedua pusat lingkaran adalah AB = d, dan PQ adalah panjang garis singgung persekutuan luar = PGSPL

                                i.            Tarik garis melalui pusat lingkaran kecil (titik B) sejajar garis PQ hingga tegak lurus garis AP, yaitu BP’ tegak lurus AP.

                              ii.            BP’PQ adalah persegi panjang, berarti BQ = P’P = r dan BP’ = PQ = PGSPL serta AP’ = AP - P’P atau AP’ = R – r.

PQ = PGSPL =

Langkah-langkah Menentukan PGSPD (PQ):

Terdapat lingkaran besar yang berpusat di A dengan jari-jari R dan lingkaran kecil dengan jari-jari r. Jarak anatar kedua pusat lingkarang adalah AB = d dan PQ adalah panjang garis singgung persekutuan dalam (PGSPD)

                                 i.            Tarik garis melalui pusat lingkaran kecil (titik B) sejajar garis Pqhingga tegak lurus pada perpanjangan garis AP di titik P’, yaitu BP’ tegak lurus AP’.

                               ii.            QBP’P adalah persegi panjang, berarti BQ = PP’ = r, PQ = BP’ = PGSPD, dan AP’ = AP + PP’ atau AP’ = R + r.

PQ = PGSPD =

Contoh:

Diberikan dua lingkaran yaitu [A, 12 cm] dan [b, 23 cm]. Jika jarak AB = 37 cm, hitunglah panjang garis singgung persekutuan luar (PGSPL).

Jawab:

AB = d = 37 cm

BP = R = 23 cm

AQ = r = 12 cm

PO = R - r = (23 + 12) cm

PQ = PGSPL =

                        =

                       

                         =  = 12

Jadi, panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran tersebut adalah 12 cm.